4. Otros problemas aritméticos

Otros problemas aritméticos Problemas de mezclas Búsqueda de un componente Problemas de móviles Encuentros y alcances Actividades

Otros problemas aritméticos

En este apartado aparecen dos tipos de situaciones muy habituales: los problemas de mezclas y los problemas de móviles.

En una mezcla, el dato clave es el valor total de cada componente.
En un problema de móviles, el dato clave es la velocidad relativa.

\( \displaystyle \text{Valor de una mezcla} = \text{cantidad}\cdot \text{precio unitario} \)

\( \displaystyle \text{distancia} = \text{velocidad}\cdot \text{tiempo} \)

Antes de operar, conviene decidir qué magnitudes se comparan y cuál es la relación que existe entre ellas.

Problemas de mezclas

Para calcular el precio de una mezcla, se suma el valor de cada componente y después se divide entre la cantidad total.

\( \displaystyle \text{precio de la mezcla} = \frac{\text{valor total}}{\text{cantidad total}} \)

Ejemplo. Se mezclan \(40\) litros de un aceite de calidad A a \(6\) €/L con \(30\) litros de otro aceite de calidad B a \(2{,}50\) €/L. ¿A qué precio sale el litro de la mezcla?

Componente	Cantidad (L)	Precio (€/L)	Valor (€)
Calidad A	40	6	240
Calidad B	30	2,50	75
Mezcla	70	?	315

\( \displaystyle 240+75=315 \)

\( \displaystyle \frac{315}{70}=4{,}50 \)

El precio de la mezcla es \(4{,}50\) €/L.

Búsqueda de la cantidad de un componente

Si se conoce el precio final de la mezcla y uno de los componentes, puede hallarse la cantidad del otro igualando el valor que falta.

Ejemplo. ¿Cuántos litros de aceite de calidad A a \(2{,}50\) €/L hay que mezclar con \(40\) litros de aceite de calidad B a \(6\) €/L para que el litro de la mezcla salga a \(4{,}50\) €/L?

La diferencia entre el precio de la mezcla y el aceite A es:

\( \displaystyle 4{,}50-2{,}50 = 2 \)

La diferencia entre el aceite B y el precio de la mezcla es:

\( \displaystyle 6-4{,}50 = 1{,}50 \)

Si \(x\) es la cantidad de aceite A, el equilibrio de valores lleva a:

\( \displaystyle 2x = 1{,}50\cdot 40 \)

\( \displaystyle 2x = 60 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 30 \)

Se necesitan \(30\) litros de aceite A para que la mezcla tenga un precio de \(4{,}50\) €/L.

Problemas de móviles

En los problemas de móviles interesa analizar si los móviles:

se alejan,
se acercan,
o uno alcanza al otro.

En todos los casos se usa la relación:

\( \displaystyle d=v\cdot t \)

Lo importante es elegir correctamente la velocidad relativa.

Si dos móviles se mueven en sentido contrario, la velocidad relativa se obtiene sumando. Si se mueven en el mismo sentido, la velocidad relativa se obtiene restando.

Encuentros y alcances

Ejemplo 1. Encuentro. Dos ciclistas parten desde puntos separados \(14\) km y avanzan uno hacia el otro con velocidades \(18\) km/h y \(6\) km/h.

\( \displaystyle v_{\text{rel}} = 18+6 = 24\ \text{km/h} \)

\( \displaystyle t = \frac{14}{24}\ \text{h} = \frac{7}{12}\ \text{h} = 35\ \text{min} \)

Ejemplo 2. Alcance. Un coche viaja a \(120\) km/h y sale \(8\) minutos después que un camión que circula a \(90\) km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarlo?

Primero se calcula la ventaja del camión:

\( \displaystyle 90\cdot \frac{8}{60} = 12\ \text{km} \)

Después se calcula la velocidad de acercamiento:

\( \displaystyle v_{\text{rel}} = 120-90 = 30\ \text{km/h} \)

\( \displaystyle t=\frac{12}{30}\ \text{h}=0{,}4\ \text{h}=24\ \text{min} \)

En un alcance, primero hay que calcular la ventaja inicial y después dividirla entre la velocidad relativa.

Actividades

Se mezclan \(20\) L de un líquido a \(3\) €/L con \(30\) L de otro a \(5\) €/L. ¿Cuál es el precio del litro de la mezcla?
¿Cuántos litros de un líquido a \(2\) €/L deben mezclarse con \(40\) L de otro a \(5\) €/L para que el precio final sea \(3{,}80\) €/L?
Dos ciclistas están separados \(18\) km y avanzan uno hacia el otro a \(12\) km/h y \(15\) km/h. ¿Cuánto tardan en encontrarse?
Un coche sale \(10\) minutos después que un camión. El camión circula a \(80\) km/h y el coche a \(110\) km/h. ¿Cuánto tarda en alcanzarlo?

Ver soluciones

1) \[ 20\cdot 3 = 60,\qquad 30\cdot 5 = 150 \] \[ \text{valor total}=210,\qquad \text{cantidad total}=50 \] \[ \frac{210}{50}=4{,}20 \] El precio es \(4{,}20\) €/L.

2) \[ 3{,}80-2=1{,}80,\qquad 5-3{,}80=1{,}20 \] \[ 1{,}80x = 1{,}20\cdot 40 = 48 \] \[ x=\frac{48}{1{,}80}=26{,}67 \] Aproximadamente \(26{,}67\) L.

3) \[ v_{\text{rel}}=12+15=27 \] \[ t=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}\ \text{h}=40\ \text{min} \]

4) Ventaja del camión: \[ 80\cdot \frac{10}{60}=13{,}33 \] Velocidad relativa: \[ 110-80=30 \] Tiempo: \[ t=\frac{13{,}33}{30}=0{,}444\ldots\ \text{h}\approx 26{,}7\ \text{min} \]